Vibrations d'un fil pesant
Présentation :
On considère
un fil pesant de longueur L suspendu par une extrémité. Au repos ce fil
pend selon la verticale du point de suspension.
En pratique, on utilise une
chaîne dont les maillons sont très petits.
On écarte un peu le fil de sa
position initiale et on le laisse osciller librement. On se limite aux mouvements
de faible amplitudes dans un plan et on néglige les frottements.
Dans le
plan de vibration on prend les axes Ox vertical et Oy horizontal.
Si on se
limite aux solutions sinusoïdales du temps, on montre que les solutions sont
de la forme :
y(t) = A.cos(wnt).J0(2wn.(x/g)½)
Comme
pour x = L, y = 0, la quantité 2wn.(L/g)½)
est un zéro de la fonction de Bessel J0.
Si
an est la valeur d'un zéro de J0 alors wn
= ½(L/g)½ .an est une fréquence propre du système.
La solution
est une combinaison linéaire de tous les modes propres fonction des conditions
initiales.
L'applet :
Les courbes représentent la forme du fil pour le mode d'indice n quand
cos(wnt) = 1.
Les valeurs f(n) sont les valeurs des fréquences propres qui
correspondent aux valeurs numériques utilisées.
Les boutons [+] et
[-] permettent
de modifier l'indice du mode propre qui est visualisé.
Pour permettre une
meilleure visualisation, l'échelle verticale est fortement dilatée.
Données numériques : L = 30 cm;
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